TRANSFORMACIONES VERTICALES Y HORIZONTALES DE LA GRÁFICA

El estudio de este tópico nos permitirá contruir gráficas de una manera más rápida sin tener que hacer uso de tablas de valores.

Traslación vertical

¿Cómo comparas las gráficas de y = x² + 2 y y = x² - 3 con la gráfica de y = x²? Observa las gráficas a continuación.

Observa que la gráfica de y = x² + 2 sube dos unidades desde el origen y la gráfica de y = x² - 3 baja tres unidades desde el origen.

Nota: La gráfica de la ecuación de la forma y = f(x) + k es la gráfica de y = f(x) desplazada hacia arriba si k es positiva y desplazada hacia abajo si k es negativa. De manera que, la gráfica de y = f(x) + k se puede obtener de la gráfica de y = f(x) al trasladar verticalmente la gráfica de y = f(x), k unidades hacia arriba si k es positiva y k unidades hacia abajo si k es negativa.

Traslación horizontal

¿Cómo comparas las gráficas de y = (x + 2)² y y = (x - 2)²con la gráfica de y = x²? Observa las gráficas a continuación.

Observa que la gráfica de y = ( x + 2)² se mueve dos unidades hacia la izquieda y la gráfica de y = (x - 2)² se mueve dos unidades hacia la derecha.

Nota: La gráfica de y = f(x + h) es la gráfica de y = f(x) desplazada hacia la derecha si h es negativa y desplazada hacia la izquierda si h es positiva. De manera que, la gráfica de y = f( x + h) se puede obtener de la gráfica de y = f(x) al trasladar horizontalmente la gráfica de y = f(x), h unidades hacia la izquierda si h es positiva y h unidades hacia la derecha si h es negativa.

Ejemplos para discusión:

1) Dibuja las gráficas de en un mismo plano. Indica el tipo de traslación.

2) Dibuja las gráficas de en un mismo plano. Indica el tipo de traslación.

Ejercicio de práctica: A continuación hay varias gráficas que muestran traslaciones verticales y horizontales de la gráfica de . Escribe la ecuación apropiada de cada una de ellas.

Reflexión

Cuando la gráfica de y = f(x) es reflejada en el eje de x. Por ejemplo: si f(x) = x² entonces g(x) = -x² es una reflexión de f(x) = x². Veamos las gráficas a continuación:

f(x) = x² g(x) = -x²

Expansión y contracción vertical

Sea y = Af(x). Si A>1, entonces la gráfica de y = Af(x) es una expansión vertical de f(x). Si 0<A<1, entonces la función y = Af(x) es una contracción vertical de la gráfica de y = f(x).

f(x) = 2x², expansión f(x) = 0.5x², contracción

de f(x) = x² de f(x) = x²

Nota: En las páginas 174-175 del texto puedes ver otros ejemplos y un resumen sobre las transformaciones.

VALOR DESCRIMINANTE Y NÚMERO DE RAÍCES

En álgebra, el discriminante de un polinomio es una cierta expresión de los coeficientes de dicho polinomio que es igual a cero si y solo si el polinomio tiene raíces múltiples en el plano complejo. Por ejemplo, el discriminante del polinomio cuadrático

$ax^2+bx+c\,$ es $b^2-4ac\,$ .

El discriminante del polinomio cúbico

$ax^3+bx^2+cx+d\,$ es $b^2c^2-4ac^3-4b^3d-27a^2d^2+18abcd\,$ .

Este concepto también se aplica si el polinomio tiene coeficientes en un cuerpo que no está contenido en los números complejos. En este caso, el discriminante se anula si y solo si el polinomio no tiene raíces múltiples en su cuerpo de descomposición.

El concepto de discriminante ha sido generalizado a otras estructuras algebraicas además de los polinomios, incluyendo secciones cónicas, formas cuadráticas y cuerpos de números algebraicos. Los discriminantes en la teoría de números algebraicos están fuertemente relacionados y contienen información sobre ramificaciones. De hecho, los tipos de ramificación están relacionados con tipos más abstractos de discriminantes, lo que convierte esta idea algebraica en capital en muchas aplicaciones.

EL DISCRIMINANTE DE LOS

POLINOMIOS CUADRÁTICOS

El polinomio cuadrático P(x) = ax² + bx + c tiene discriminante D = b² − 4ac, que la cantidad bajo el signo de la raíz cuadrada en la fórmula de la solución de la ecuación de segundo grado. Dados los números reales a, b, c, se tiene:

Cuando D > 0, P(x) tiene dos raíces reales distintas $x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ , y su representación cruza el eje de las abscisas dos veces.
Cuando D = 0, P(x) tiene dos raíces coincidentes reales $x_1=x_2=-\frac{b}{2a}$ , y su representación es tangente al eje de abscisas.
Cuando D < 0, P(x) no tiene raíces reales y su representación queda estrictamente por encima o por debajo del eje de abscisas. En este caso, P(x) tiene dos raíces complejas distintas.

EL DISCRIMINANTE DE LOS POLINOMIOS CÚBICOS

El polinomio cúbico

$ax^3+bx^2+cx+d$ tiene discriminante $b^2c^2-4ac^3-4b^3d-27a^2d^2+18abcd$ .

Los polinomios más simples tienen discriminantes con expresiones más simples. Por ejemplo el polinomio mónico cuadrático

$x^2+bx+c$ tiene discriminante $b^2-4c$ .

el polinomio mónico cúbico

$x^3+bx^2+cx+d$ tiene discriminante $b^2c^2-4c^3-4b^3d-27d^2+18bcd$ .

El polinomio mónico cúbico sin término cuadrático

$x^3+cx+d$ tiene discriminante $-4c^3-27d^2$ .

INTERSECCIÓN CON EL EJE x

La interseccion con los ejes es el punto donde la funcion se intersecta con los ejes "X" e "Y" (Absisa y ordenada respectivamente).
Hay una forma muy facil de sacar la interseccin con los ejes que es haciendo tender la variable "x" a cero en el caso de la interseccion con el eje "Y" (ordenada) y en el caso de la interseccion con el eje "X" (absisa) hay que hacer tender el valor de la variable "Y" a cero.

Por ejemplo:
Si tenemos la recta Y=2X+3

Para sacar la interseccion con el eje "Y" (ordenada) hacemos tender "X" a cero
Y = 2*0 + 3
Y=3

Esta funcion corta al eje "Y" en Y=3 (Es la famosa ordenada al origen)

Para sacar la interseccion con el eje "X" (absisa) hacemos tender "Y" a cero
0 = 2X+3
-3 = -2X
X = -3/2

Esta funcion corta al eje "X" en X = -3/2

DIFERENCIA ENTRE UNA ECUACIÓN Y UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA

ECUACIÓN

Una ecuación es una igualdad matemática entre dos expresiones algebraicas, denominadas miembros, en las que aparecen valores conocidos o datos, y desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas.^{nota 1} Los valores conocidos pueden ser números, coeficientes o constantes; y también variables cuya magnitud pueda ser establecida a través de las restantes ecuaciones de un sistema, o bien mediante otros procesos.^{nota 2} ^{[cita requerida]} Las incógnitas, representadas generalmente por letras, constituyen los valores que se pretende hallar. Por ejemplo, en la ecuación:

$\overbrace{3x-1}^{\text{primer miembro}}=\overbrace{9+x}^{\text{segundo miembro}}$

la variable $x \,$ representa la incógnita, mientras que el coeficiente 3 y los números 1 y 9 son constantes conocidas. La igualdad planteada por una ecuación será cierta o falsa dependiendo de los valores numéricos que tomen las incógnitas; se puede afirmar entonces que una ecuación es una igualdad condicional, en la que sólo ciertos valores de las variables (incógnitas) la hacen cierta.

Se llama solución de una ecuación a cualquier valor individual de dichas variables que la satisfaga. Para el caso dado, la solución es:

$x = 5 \,$

Resolver una ecuación es encontrar su dominio solución, que es el conjunto de valores de las incógnitas para los cuales la igualdad se cumple. Por lo general, los problemas matemáticos pueden expresarse en forma de una o más ecuaciones;^{[cita requerida]} sin embargo no todas las ecuaciones tienen solución, ya que es posible que no exista ningún valor de la incógnita que haga cierta una igualdad dada. En ese caso, el conjunto de soluciones de la ecuación será vacío y se dice que la ecuación no es resoluble. De igual modo, puede tener un único valor, o varios, o incluso infinitos valores, siendo cada uno de ellos una solución particular de la ecuación. Si cualquier valor de la incógnita hace cumplir la igualdad (esto es, no existe ningún valor para el cual no se cumpla) la ecuación es en realidad una identidad.

FUNCIÓN CUADRÁTICA

En matemáticas, una función cuadrática o función de segundo grado es una función polinómica definida como:

$y = ax^2 + bx + c \,$

Una función cuadrática es aquella que puede escribirse de la forma: f(x) = ax2 + bx + c donde a, b y c son números reales cualquiera y a distinto de cero ya que si es cero nunca será una parábola. Este tipo de funciones tiene como característica que cuando a>0 el vértice de la parábola se encuentra en la parte inferior de la misma y cuando a<0 el vértice se encuentra el la parte superior.

El objetivo principal tiene como resultado las intersecciones de la línea de función con el eje de las x, la que toda función cuadrática podrá tener dos posibles respuestas en x.

Si representamos "todos" los puntos (x,f(x)) de una función cuadrática, obtenemos siempre una curva llamada parábola.

Como ejemplo, ahí tienes la representación gráfica de dos funciones cuadráticas muy sencillas:

f(x) = x2 f(x) = -x2

Primer forma para sacar la raíz:

1) se iguala la ecuación a cero..-.

2) se factoriza la ecuación.

3)cada factor se iguala a cero.

Para graficar la función:

1)se determina si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

2)obtener los puntos de intesección en el eje x, es decir obtener las raíces de la ecuación.

3)obtener el vértice de la función ya sea por medio de punto medio o utilizando la fórmula -b/2a.

4)graficar los puntos obtenidos en los puntos 1 y 2 graficar la curva.

Caso especial: si la función es x2 siempre pasa por el origen f(x)=x2-4 f(x)=(x+2)(x-2) x+2=0 x-2=0 x=-2 x=2

Punto medio (-2+2)/2=0

Sustituye valores f(0)=(o*o)-4=-4

en donde a, b y c son números reales (constantes) y a es distinto de 0.

La representación gráfica en el plano cartesiano de una función cuadrática es una parábola, cuyo eje de simetría es paralelo al eje de las ordenadas. La parábola se abrirá hacia arriba si el signo de a es positivo, y hacia abajo en caso contrario. El estudio de las funciones cuadráticas tiene numerosas aplicaciones en campos muy diversos, como por ejemplo la caída libre o el tiro parabólico.

La derivada de una función cuadrática es una función lineal y su integral una función cúbica.

BLOQUE 10

martes, 7 de enero de 2014